Fórmulas del Póker

El Texas Holdem es la variante de Póker más jugada actualmente.

Cada jugador recibe dos cartas y se disponen de otras cinco cartas comunitarias.

Entonces son siete cartas y cada jugador hará su mejor juego con cinco de ellas.

Ahora veamos la parte matemática.

Esas siete cartas dan lugar a  133.784.560  alternativas diferentes de juego, las cuales veremos detalladas en la siguiente tabla:

Por otra parte, si solamente tomamos las cinco cartas comunitarias, entonces las alternativas serán  2.598.960, como se ven en esta otra tabla :

Y esto último, lógicamente, también vale para la mano inicial del póker tradicional, el llamado 5-CARD.

Pero en ocasiones (como ser en reuniones de amigos) el juego de póker tradicional se practica con menos naipes a fin de lograr mas asiduamente juegos mayores, lo que resulta “más vistoso”.

Para ello se retiran algunas cartas del mazo.

Por ejemplo, si se retiran todos los 2, 3, 4, 5 y 6, entonces la nueva tabla sería

Para realizar estos cálculos se utilizaron las siguientes fórmulas :

Total de Juegos posibles = C_{4.n , 5}     

donde  “C”  significa  Número Combinatorio  y  “n”  es la cantidad de cartas de un mismo palo.

Escalera Real  =  4 . (n – 3)

Póker  =  4 . n . (n – 1)

Full  =  6 . Póker

Color  =  4 . (3 – n + C_{n , 5})

Escalera  =  1020 . (n – 3)

Pierna  =  64 . n . C_{n-1 , 2}

Par Doble  =  144 . (n – 2) . C_{n , 2}

Par Simple  =  384 . n . C_{n-1 , 3} 

Carta Alta  =  255 . Color

Así, cuando se usan todos los naipes del mazo, n=13

Total de Juegos posibles = C_{4.13 , 5}  =  2598960      

Escalera Real  =  4 . (13 – 3)  =  40

Póker  =  4 . 13 . (13 – 1)  =  624

Full  =  6 . Póker  =  6 . 624  =  3744

Color  =  4 . (3 – 13 + C_{13 , 5})  =  4 . (3 – 13 + 1287)  =  5108

Escalera  =  1020 . (13 – 3)  =  10200

Pierna  =  64 . 13 . C_{13-1 , 2}  =  64 . 13 . 66  =  54912

Par Doble  =  144 . (13 – 2) . C_{13 , 2}  =  144 . 11 . 78  =  123552 

Par Simple  =  384 . 13 . C_{13-1 , 3}  =  384 . 13 . 220  =  1098240

Carta Alta  =  255 . Color  =  255 . 5108  =  1302540

Y cuando no se usan los 2, 3, 4, 5 y 6, entonces será  n=8

porque los que se usan son : 7, 8, 9, 10, J, Q, K y A

Total de Juegos posibles = C_{4.8 , 5}  =  201376      

Escalera Real  =  4 . (8 – 3)  =  20

Póker  =  4 . 8 . (8 – 1)  =  224

Full  =  6 . Póker  =  6 . 224  =  1344

Color  =  4 . (3 – 8 + C_{8 , 5})  =  4 . (3 – 8 + 56)  =  204

Escalera  =  1020 . (8 – 3)  =  5100

Pierna  =  64 . 8 . C_{8-1 , 2}  =  64 . 8 . 21  =  10752

Par Doble  =  144 . (8 – 2) . C_{8 , 2}  =  144 . 6 . 28  =  24192 

Par Simple  =  384 . 8 . C_{8-1 , 3}  =  384 . 8 . 35  =  107520

Carta Alta  =  255 . Color  =  255 . 204  =  52020

Fórmulas del M.R.U.V.

El movimiento rectilíneo uniformemente variado tiene los siguientes parámetros :

A = aceleración

D = distancia recorrida

T = tiempo transcurrido

V_f = velocidad final

V_i = velocidad inicial

y  las siguientes fórmulas que derivan de las definiciones de velocidad y aceleración :

(V_f  + V_i) . T  =  2 . D       ( fórmula sin  A )    

    

V_f  – V_i   =  A . T       ( fórmula sin  D )    

de las cuales se deducen las siguientes otras tres fórmulas :

V²_f  – V²_i  =  2 . A . D       ( fórmula sin  T )    

D  =  V_i . T  +  0,5 . A . T²       ( fórmula sin  V_f )

   

D  =  V_f . T  –  0,5 . A . T²       ( fórmula sin  V_i )

Resta de Cubos

Resultados llamativos se producen cuando se restan cubos consecutivos, pues a veces se mantienen los mismos dígitos, aunque algo mezclados. Veamos :

    3³ – 2³ = 19

    6³ – 5³ = 91

    7³ – 6³ = 127

    9³ – 8³ = 217

  10³ – 9³ = 271

16³ – 15³ = 721

19³ – 18³ = 1027

27³ – 26³ = 2107

21³ – 20³ = 1261

30³ – 29³ = 2611

46³ – 45³ = 6211

22³ – 21³ = 1387

36³ – 35³ = 3781

23³ – 22³ = 1519

26³ – 25³ = 1951

24³ – 23³ = 1657

42³ – 41³ = 5167

51³ – 50³ = 7651

35³ – 34³ = 3571

50³ – 49³ = 7351

38³ – 37³ = 4219

41³ – 40³ = 4921

56³ – 55³ = 9241

43³ – 42³ = 5419

45³ – 44³ = 5941

52³ – 51³ = 7957

57³ – 56³ = 9577

59³ – 58³ = 10267

74³ – 73³ = 16207

61³ – 60³ = 10981

78³ – 77³ = 18019

    66³ – 65³ = 12871
166³ – 165³ = 82171

171³ – 170³ = 87211

    67³ – 66³ = 13267
    96³ – 95³ = 27361

105³ – 104³ = 32761
160³ – 159³ = 76321

    69³ – 68³ = 14077

117³ – 116³ = 40717

    70³ – 69³ = 14491

    81³ – 80³ = 19441
118³ – 117³ = 41419

    72³ – 71³ = 15337

109³ – 108³ = 35317

    73³ – 72³ = 15769

138³ – 137³ = 56719
151³ – 150³ = 67951

    80³ – 79³ = 18961
170³ – 169³ = 86191

    82³ – 81³ = 19927
163³ – 162³ = 79219

    83³ – 82³ = 20419
176³ – 175³ = 92401

  64³ – 63³ = 12097

  84³ – 83³ = 20917
  99³ – 98³ = 29107
100³ – 99³ = 29701

    91³ – 90³ = 24571
126³ – 125³ = 47251

135³ – 134³ = 54271
156³ – 155³ = 72541

    93³ – 92³ = 25669

133³ – 132³ = 52669
148³ – 147³ = 65269

    97³ – 96³ = 27937

112³ – 111³ = 37297

102³ – 101³ = 30907
174³ – 173³ = 90307

  

103³ – 102³ = 31519
175³ – 174³ = 91351

106³ – 105³ = 33391
115³ – 114³ = 39331

114³ – 113³ = 38647
147³ – 146³ = 64387

124³ – 123³ = 45757
139³ – 138³ = 57547

132³ – 131³ = 51877
169³ – 168³ = 85177

137³ – 136³ = 55897
179³ – 178³ = 95587

        6³ – 5³ = 91

     18³ – 17³ = 919

      58³ – 57³ = 9919 

  183³ – 182³ = 99919

UTF ampliado

Recordemos el Último Teorema de Fermat 

Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ      no tiene solución cuando  n  es mayor que 2.

Pero esto también puede verse como una ecuación que tiene dos términos de un lado y un término del otro, lo cual puede expresarse como (2 ; 1)

Entonces,  ¿qué ocurriría si la cantidad de términos fuera diferente?

Por supuesto que los términos serán todos distintos en cada ecuación considerada.

Veamos ejemplos con cubos :

A³ + B³ = C³       (2; 1)  y  no cumple

1³ + 12³ = 9³ + 10³      (2 ; 2)  y  cumple

3³ + 4³ + 5³ = 6³      (3 ; 1)  y  cumple

1³ + 5³ + 9³ = 7³ + 8³      (3 ; 2)  y  cumple

2³ + 3³ + 11³ = 5³ + 8³ + 9³      (3 ; 3)  y  cumple

1³ + 5³ + 7³ + 12³ = 13³      (4 ; 1)  y  cumple

3³ + 4³ + 8³ + 9³ = 1³ + 11³      (4 ; 2)  y  cumple

3³ + 6³ + 7³ + 11³ = 4³ + 5³ + 12³      (4 ; 3)  y  cumple

1³ + 6³ + 7³ + 14³ = 4³ + 8³ + 10³ + 12³     (4 ; 4)  y  cumple

1³ + 3³ + 4³ + 5³ + 8³ = 9³      (5 ; 1)  y  cumple

2³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ = 3³ + 9³      (5 ; 2)  y  cumple

1³ + 5³ + 9³ + 11³ + 12³ = 3³ + 8³ + 15³     (5 ; 3)  y  cumple

1³ + 2³ + 3³ + 6³ + 12³ = 5³ + 7³ + 8³ + 10³     (5 ; 4)  y  cumple

1³ + 2³ + 3³ + 6³ + 17³ = 5³ + 8³ + 10³ + 11³ + 13³     (5 ; 5)  y  cumple

Algunos más, repetidos:

1³ + 6³ + 9³ + 11³ + 12³ + 13³ = 3³ + 7³ + 18³     (6 ; 3)  y  cumple

6³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³ + 11³ = 2³ + 3³ + 16³     (6 ; 3)  y  cumple

1³ + 2³ + 3³ + 5³ + 7³ + 8³+ 12³ = 14³     (7 ; 1)  y  cumple

1³ + 4³ + 5³ + 6³ + 8³ + 9³+ 12³ = 15³     (7 ; 1)  y  cumple

1³ + 6³ + 8³ + 9³ + 10³ +11³ + 19³ = 22³     (7 ; 1)  y  cumple

Por último uno con cierta estética, pues están vinculados desde el  2³  hasta el  10³

2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 9³ = 8³ + 10³     (7 ; 2)  y  cumple

En resumen, sacando el  (2 ; 1) , ¿será que cumplirá para cualquier otro caso?

¿y para las demás potencias?

Ya que estamos veamos que pasa con los cuadrados :

3² + 4² = 5²      (2 ; 1)  y  cumple

2² + 3² + 6² = 7²      (3 ; 1)  y  cumple

2² + 4² + 5² + 6² = 9²      (4 ; 1)  y  cumple

1² + 2² + 4² + 6² + 8² = 11²      (5 ; 1)  y  cumple

1² + 8² = 4² + 7²      (2 ; 2)  y  cumple

1² + 2² + 6² = 4² + 5²      (3 ; 2)  y  cumple

2² + 3² + 4² + 6² = 1² + 8²      (4 ; 2)  y  cumple

1² + 3² + 4² + 5² + 7² = 6² + 8²      (5 ; 2)  y  cumple

1² + 4² + 9² = 3² + 5² + 8²      (3 ; 3)  y  cumple

3² + 4² + 5² + 6² = 1² + 2² + 9²      (4 ; 3)  y  cumple

2² + 3² + 4² + 5² + 8² = 1² + 6² + 9²      (5 ; 3)  y  cumple

1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8²      (4 ; 4)  y  cumple

¿será que cumplirán siempre?

Cubos y Fermat

El Último Teorema de Fermat (UTF) menciona que no puede haber solución en la ecuación

Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ      cuando  n  es mayor que 2      (demostrado por Andrew Wiles en 1995)

De todos modos, al probar con potencias de 3, se observa que algunas ternas  casi  llegan a cumplirlo:

9³ + 10³ = 12³ + 1       6³ + 8³ = 9³ – 1       acá le erran tanto por  +1  como por  -1

5³ + 6³ = 7³ – 2       24³ + 47³ = 49³ – 2       54³ + 161³ = 163³ – 2       acá todas le erran por  -2

¿podrán encontrarse otras ternas que difieran en números pequeños?

Algunos ejemplos:

43³ + 58³ = 65³ – 6

32³ + 104³ = 105³ + 7

9³ + 15³ = 16³ + 8       18³ + 20³ = 24³ + 8      

15³ + 33³ = 34³ + 8       41³ + 86³ = 89³ + 8      

17³ + 40³ = 41³ – 8

52³ + 216³ = 217³ – 9

En general, ¿podrán encontrarse ternas que difieran en cualquier número?