Ramanujan, Hardy y el número 1729


Actualmente hay una película que narra la vida de Srinivasa Ramanujan. Y de su relación con el famoso matemático inglés G.H.Hardy se cuenta una pequeña anécdota:
Hardy le comentó que el taxi que acababa de tomar tenía como matrícula un número vulgar, el 1729. A lo que Ramanujan contestó que dicho número tenía su relevancia:
es el menor entero que puede ser expresado de dos maneras distintas como suma de dos números elevados al cubo:  1729 = 1³ + 12³ = 9³  + 10³

Igualmente tendríamos al  65, si esos dos números fueran elevados al cuadrado:  65 = 1² + 8² = 4² + 7²

Pero también valdría decir que el  1729  pertenece a la clase de números cuya diferencia entre sus factores primos es la misma (permítase la presencia del  1, que hace que esta clase de números sea más especial) :

1729  =  1 x 7 x 13 x 19    (4 factores, diferencia 6)


Algunos ejemplos más:

105  =  1 x 3 x 5 x 7    (4 factores, diferencia 2)

56.052.361  =  1 x 211 x 421 x 631    (4 factores, diferencia 210)

Con factores terminados en 1 es cuando podrían conseguirse muchos factores. Pero, ¿habrá un límite?

Con los tres últimos factores terminados en 7, 3 y 9 sólo podrán conseguirse esos tres factores, ya que el próximo terminará en 5 (y obviamente no será primo). O sea como en el caso del  1729. Veamos otro ejemplo:

294.409  =  1 x 37 x 73 x 109    (4 factores, diferencia 36)

Todos estos ejemplos también se relacionan con los números de Carmichael. Sería interesante investigarlos más.

Números Arábigos

Desde hace mucho tiempo tenemos la costumbre de llamar números arábigos a estos diez símbolos :

          1      2      3      4      5      6      7      8      9      0

Si los miramos con atención, veremos un cierto parecido si los tomamos de a dos adecuadamente; incluso una cierta simetría, tanto en su construcción como en su ubicación :

         

Ahora mirémoslos construidos con trazos rectos, o sea "tipo calculadora"

no puede haber símbolos más simples

el  8  es como la unión del  3  y su imagen espejada

tres segmentos, dos cortos y uno largo para cada símbolo

la simetría es evidente

la simetría es evidente

Número especial

Dependiendo del tema matemático investigado, suele pasar que cierto tipo de números aparece con relativa asiduidad.
Así pasó con los números que, partidos al medio y sumadas ambas mitades, daban como resultados todos dígitos iguales.

Por ejemplo, tomemos el  237651

donde    237 + 651 = 888

La idea es expresar al  237651  en dos factores.

El primer factor será tantos unos como cifras tenga la mitad del Nº, en este caso  111

El segundo factor saldrá de restar la primera mitad del Nº a esa misma primera mitad, pero agregando el "dígito suma", en este caso el  8

entonces sería     237651 = 111 . (2378 - 237)


Ahora supongamos que tenemos el mismo  237651, pero con algunos  8  en el medio, por ejemplo

2378888651

en este caso también podrá expresarse en dos factores.

El primer factor será tantos unos como cifras tenga la mitad del Nº, además de tantos unos como ochos halla. O sea tres unos por un lado y cuatro por el otro, es decir  1111111

El segundo factor será igual al visto anteriormente

entonces sería     2378888651 = 1111111 . (2378 - 237)


Veamos algunos ejemplos más:

2045775732 = 111111 . (20457 - 2045)

123459999987654 = 1111111111 . (123459 - 12345)

462 = 11. (46 - 4)

Fórmulas del Póker

El Texas Holdem es la variante de Póker más jugada actualmente.

Cada jugador recibe dos cartas y se disponen de otras cinco cartas comunitarias.

Entonces son siete cartas y cada jugador hará su mejor juego con cinco de ellas.

Ahora veamos la parte matemática.

Esas siete cartas dan lugar a  133.784.560  alternativas diferentes de juego, las cuales veremos detalladas en la siguiente tabla:

Por otra parte, si solamente tomamos las cinco cartas comunitarias, entonces las alternativas serán  2.598.960, como se ven en esta otra tabla :

Y esto último, lógicamente, también vale para la mano inicial del póker tradicional, el llamado 5-CARD.

Pero en ocasiones (como ser en reuniones de amigos) el juego de póker tradicional se practica con menos naipes a fin de lograr mas asiduamente juegos mayores, lo que resulta “más vistoso”.

Para ello se retiran algunas cartas del mazo.

Por ejemplo, si se retiran todos los 2, 3, 4, 5 y 6, entonces la nueva tabla sería

Para realizar estos cálculos se utilizaron las siguientes fórmulas :

Total de Juegos posibles = C_{4.n , 5}     

donde  “C”  significa  Número Combinatorio  y  “n”  es la cantidad de cartas de un mismo palo.

Escalera Real  =  4 . (n – 3)

Póker  =  4 . n . (n – 1)

Full  =  6 . Póker

Color  =  4 . (3 – n + C_{n , 5})

Escalera  =  1020 . (n – 3)

Pierna  =  64 . n . C_{n-1 , 2}

Par Doble  =  144 . (n – 2) . C_{n , 2}

Par Simple  =  384 . n . C_{n-1 , 3} 

Carta Alta  =  255 . Color

Así, cuando se usan todos los naipes del mazo, n=13

Total de Juegos posibles = C_{4.13 , 5}  =  2598960      

Escalera Real  =  4 . (13 – 3)  =  40

Póker  =  4 . 13 . (13 – 1)  =  624

Full  =  6 . Póker  =  6 . 624  =  3744

Color  =  4 . (3 – 13 + C_{13 , 5})  =  4 . (3 – 13 + 1287)  =  5108

Escalera  =  1020 . (13 – 3)  =  10200

Pierna  =  64 . 13 . C_{13-1 , 2}  =  64 . 13 . 66  =  54912

Par Doble  =  144 . (13 – 2) . C_{13 , 2}  =  144 . 11 . 78  =  123552 

Par Simple  =  384 . 13 . C_{13-1 , 3}  =  384 . 13 . 220  =  1098240

Carta Alta  =  255 . Color  =  255 . 5108  =  1302540

Y cuando no se usan los 2, 3, 4, 5 y 6, entonces será  n=8

porque los que se usan son : 7, 8, 9, 10, J, Q, K y A

Total de Juegos posibles = C_{4.8 , 5}  =  201376      

Escalera Real  =  4 . (8 – 3)  =  20

Póker  =  4 . 8 . (8 – 1)  =  224

Full  =  6 . Póker  =  6 . 224  =  1344

Color  =  4 . (3 – 8 + C_{8 , 5})  =  4 . (3 – 8 + 56)  =  204

Escalera  =  1020 . (8 – 3)  =  5100

Pierna  =  64 . 8 . C_{8-1 , 2}  =  64 . 8 . 21  =  10752

Par Doble  =  144 . (8 – 2) . C_{8 , 2}  =  144 . 6 . 28  =  24192 

Par Simple  =  384 . 8 . C_{8-1 , 3}  =  384 . 8 . 35  =  107520

Carta Alta  =  255 . Color  =  255 . 204  =  52020

Fórmulas del M.R.U.V.

El movimiento rectilíneo uniformemente variado tiene los siguientes parámetros :

A = aceleración

D = distancia recorrida

T = tiempo transcurrido

V_f = velocidad final

V_i = velocidad inicial

y  las siguientes fórmulas que derivan de las definiciones de velocidad y aceleración :

(V_f  + V_i) . T  =  2 . D       ( fórmula sin  A )    

    

V_f  – V_i   =  A . T       ( fórmula sin  D )    

de las cuales se deducen las siguientes otras tres fórmulas :

V²_f  – V²_i  =  2 . A . D       ( fórmula sin  T )    

D  =  V_i . T  +  0,5 . A . T²       ( fórmula sin  V_f )

   

D  =  V_f . T  –  0,5 . A . T²       ( fórmula sin  V_i )

Resta de Cubos

Resultados llamativos se producen cuando se restan cubos consecutivos, pues a veces se mantienen los mismos dígitos, aunque algo mezclados. Veamos :

    3³ – 2³ = 19

    6³ – 5³ = 91

    7³ – 6³ = 127

    9³ – 8³ = 217

  10³ – 9³ = 271

16³ – 15³ = 721

19³ – 18³ = 1027

27³ – 26³ = 2107

21³ – 20³ = 1261

30³ – 29³ = 2611

46³ – 45³ = 6211

22³ – 21³ = 1387

36³ – 35³ = 3781

23³ – 22³ = 1519

26³ – 25³ = 1951

24³ – 23³ = 1657

42³ – 41³ = 5167

51³ – 50³ = 7651

35³ – 34³ = 3571

50³ – 49³ = 7351

38³ – 37³ = 4219

41³ – 40³ = 4921

56³ – 55³ = 9241

43³ – 42³ = 5419

45³ – 44³ = 5941

52³ – 51³ = 7957

57³ – 56³ = 9577

59³ – 58³ = 10267

74³ – 73³ = 16207

61³ – 60³ = 10981

78³ – 77³ = 18019

    66³ – 65³ = 12871
166³ – 165³ = 82171

171³ – 170³ = 87211

    67³ – 66³ = 13267
    96³ – 95³ = 27361

105³ – 104³ = 32761
160³ – 159³ = 76321

    69³ – 68³ = 14077

117³ – 116³ = 40717

    70³ – 69³ = 14491

    81³ – 80³ = 19441
118³ – 117³ = 41419

    72³ – 71³ = 15337

109³ – 108³ = 35317

    73³ – 72³ = 15769

138³ – 137³ = 56719
151³ – 150³ = 67951

    80³ – 79³ = 18961
170³ – 169³ = 86191

    82³ – 81³ = 19927
163³ – 162³ = 79219

    83³ – 82³ = 20419
176³ – 175³ = 92401

  64³ – 63³ = 12097

  84³ – 83³ = 20917
  99³ – 98³ = 29107
100³ – 99³ = 29701

    91³ – 90³ = 24571
126³ – 125³ = 47251

135³ – 134³ = 54271
156³ – 155³ = 72541

    93³ – 92³ = 25669

133³ – 132³ = 52669
148³ – 147³ = 65269

    97³ – 96³ = 27937

112³ – 111³ = 37297

102³ – 101³ = 30907
174³ – 173³ = 90307

  

103³ – 102³ = 31519
175³ – 174³ = 91351

106³ – 105³ = 33391
115³ – 114³ = 39331

114³ – 113³ = 38647
147³ – 146³ = 64387

124³ – 123³ = 45757
139³ – 138³ = 57547

132³ – 131³ = 51877
169³ – 168³ = 85177

137³ – 136³ = 55897
179³ – 178³ = 95587

        6³ – 5³ = 91

     18³ – 17³ = 919

      58³ – 57³ = 9919 

  183³ – 182³ = 99919