Fórmulas del Póker

El Texas Holdem es la variante de Póker más jugada actualmente.

Cada jugador recibe dos cartas y se disponen de otras cinco cartas comunitarias.

Entonces son siete cartas y cada jugador hará su mejor juego con cinco de ellas.

Ahora veamos la parte matemática.

Esas siete cartas dan lugar a  133.784.560  alternativas diferentes de juego, las cuales veremos detalladas en la siguiente tabla:

Por otra parte, si solamente tomamos las cinco cartas comunitarias, entonces las alternativas serán  2.598.960, como se ven en esta otra tabla :

Y esto último, lógicamente, también vale para la mano inicial del póker tradicional, el llamado 5-CARD.

Pero en ocasiones (como ser en reuniones de amigos) el juego de póker tradicional se practica con menos naipes a fin de lograr mas asiduamente juegos mayores, lo que resulta “más vistoso”.

Para ello se retiran algunas cartas del mazo.

Por ejemplo, si se retiran todos los 2, 3, 4, 5 y 6, entonces la nueva tabla sería

Para realizar estos cálculos se utilizaron las siguientes fórmulas :

Total de Juegos posibles = C_{4.n , 5}     

donde  “C”  significa  Número Combinatorio  y  “n”  es la cantidad de cartas de un mismo palo.

Escalera Real  =  4 . (n – 3)

Póker  =  4 . n . (n – 1)

Full  =  6 . Póker

Color  =  4 . (3 – n + C_{n , 5})

Escalera  =  1020 . (n – 3)

Pierna  =  64 . n . C_{n-1 , 2}

Par Doble  =  144 . (n – 2) . C_{n , 2}

Par Simple  =  384 . n . C_{n-1 , 3} 

Carta Alta  =  255 . Color

Así, cuando se usan todos los naipes del mazo, n=13

Total de Juegos posibles = C_{4.13 , 5}  =  2598960      

Escalera Real  =  4 . (13 – 3)  =  40

Póker  =  4 . 13 . (13 – 1)  =  624

Full  =  6 . Póker  =  6 . 624  =  3744

Color  =  4 . (3 – 13 + C_{13 , 5})  =  4 . (3 – 13 + 1287)  =  5108

Escalera  =  1020 . (13 – 3)  =  10200

Pierna  =  64 . 13 . C_{13-1 , 2}  =  64 . 13 . 66  =  54912

Par Doble  =  144 . (13 – 2) . C_{13 , 2}  =  144 . 11 . 78  =  123552 

Par Simple  =  384 . 13 . C_{13-1 , 3}  =  384 . 13 . 220  =  1098240

Carta Alta  =  255 . Color  =  255 . 5108  =  1302540

Y cuando no se usan los 2, 3, 4, 5 y 6, entonces será  n=8

porque los que se usan son : 7, 8, 9, 10, J, Q, K y A

Total de Juegos posibles = C_{4.8 , 5}  =  201376      

Escalera Real  =  4 . (8 – 3)  =  20

Póker  =  4 . 8 . (8 – 1)  =  224

Full  =  6 . Póker  =  6 . 224  =  1344

Color  =  4 . (3 – 8 + C_{8 , 5})  =  4 . (3 – 8 + 56)  =  204

Escalera  =  1020 . (8 – 3)  =  5100

Pierna  =  64 . 8 . C_{8-1 , 2}  =  64 . 8 . 21  =  10752

Par Doble  =  144 . (8 – 2) . C_{8 , 2}  =  144 . 6 . 28  =  24192 

Par Simple  =  384 . 8 . C_{8-1 , 3}  =  384 . 8 . 35  =  107520

Carta Alta  =  255 . Color  =  255 . 204  =  52020