Ramanujan, Hardy y el número 1729


Actualmente hay una película que narra la vida de Srinivasa Ramanujan. Y de su relación con el famoso matemático inglés G.H.Hardy se cuenta una pequeña anécdota:
Hardy le comentó que el taxi que acababa de tomar tenía como matrícula un número vulgar, el 1729. A lo que Ramanujan contestó que dicho número tenía su relevancia:
es el menor entero que puede ser expresado de dos maneras distintas como suma de dos números elevados al cubo:  1729 = 1³ + 12³ = 9³  + 10³

Igualmente tendríamos al  65, si esos dos números fueran elevados al cuadrado:  65 = 1² + 8² = 4² + 7²

Pero también valdría decir que el  1729  pertenece a la clase de números cuya diferencia entre sus factores primos es la misma (permítase la presencia del  1, que hace que esta clase de números sea más especial) :

1729  =  1 x 7 x 13 x 19    (4 factores, diferencia 6)


Algunos ejemplos más:

105  =  1 x 3 x 5 x 7    (4 factores, diferencia 2)

56.052.361  =  1 x 211 x 421 x 631    (4 factores, diferencia 210)

Con factores terminados en 1 es cuando podrían conseguirse muchos factores. Pero, ¿habrá un límite?

Con los tres últimos factores terminados en 7, 3 y 9 sólo podrán conseguirse esos tres factores, ya que el próximo terminará en 5 (y obviamente no será primo). O sea como en el caso del  1729. Veamos otro ejemplo:

294.409  =  1 x 37 x 73 x 109    (4 factores, diferencia 36)

Todos estos ejemplos también se relacionan con los números de Carmichael. Sería interesante investigarlos más.